نموذج الإنحدار البييزي اللوجستي لتحليل سرطان الثدي Bayesian Logistic Regression Model For Analyzing Breast Canser Data

نموذج الإنحدار البییزی اللوجستی لتحلیل سرطان الثدی

Bayesian Logistic Regression Model

For Analyzing Breast Canser Data

الملخص

تتجه الدراسات العلمیة فی الآونه الأخیره الى المعالجة الإحصائیه لبیانات الأمراض الأکثر انتشاراً فمن أکثر الأمرض انتشاراً هو مرض سرطان الثدی. لذا أُجری البحث بهدف تحدید العوامل المؤثرة فی مرض سرطان الثدی ومعرفة مدی تأثیر کل متغیر من هذه المتغیرات من خلال تطبیق نموذج الإنحدار اللوجستی linear logistic model  حیث أن الظاهرة المدروسة ذات ظاهرة ثنائیة.  وقد تمت الدراسه على عینه من  100 مریض مصاب ومریض بمرض سرطان الثدی , تترواح أعمارهم من 39 الى81 سنة, بلغت نسبة الإصابة من الإناث (96%) والذکور (4%) جُمعت بیاناتهم من مستشفی الزقازیق الجامعی فی مدینة الزقازیق لمدة سنة فی الفترة (2015-2016) م.

 أستخدمت طریقة الإمکان الأکبر لتقدیر معلمات النموذج لتحدید مدی تأثیر المتغیرات التوضیحیة  وتم استخدام اختبار Wald test  لمعرفة مدی معنویة المتغیرات.

 1. المقدمة

 یُعد القطاع الصحی أحد  القطاعات الخدمیة الذی یتولی مهمة توفیر الخدمات الصحیة لجمیع أفراد المجتمع من خلال المؤسسات الصحیة من أجل حمایة المجتمع وتحقیق الرفاهیة لأفراده.  ومما لاشک فیه أن الصحة العامة من المؤشرات  المهمة علی تقدم الدولة وتطورها. ومن مقومات بناء الصحة  فی المجتمع درء جمیع الأمراض.

ویُعتبر سرطان الثدی فی مقدمة هذه الأمراض السرطانیة وهو من أکثر أنواع السرطانات انتشارا هذه الأیام  حیث أن سرطان الثدی هو السرطان الأول عالمیا , والسبب الثانی للوفاة من السرطان عند المرأة .سرطان الثدی هو أحد أنماط الأورام الخبیثة الشائعة، وینتج عن نمو غیر طبیعی لخلایا الثدی، ویُعد سرطان الثدی من أکثر أنواع الأورام التی تصیب السیدات على اختلاف أعمارهن، فقد ساعد دعم حملات التوعیة بسرطان الثدی، وتمویل البحوث، على سرعة تشخیص وعلاج سرطان الثدی، فزادت معدلات البقاء على قید الحیاة، وانخفض عدد الوفیات، وذلک بفضل الله ثم الکشف المبکر للثدی والعلاجات الجدیدة.

 نسبة الإصابة بسرطان الثدی فی تزاید مستمر فی جمیع دول العالم، ولکن لوحظ انخفاض فی معدل الوفیات المرتبطة به منذ عام 1990م فی الدول المتقدمة بسبب إتباع برامج الکشف المبکر وتطویر علاجات أفضل.

          من المتوقع حسب الدراسات وخلال العشرین سنة القادمة زیادة معدلات الإصابة به لأکثر من أربعة أضعاف فی منطقة الشرق الاوسط.

هدف البحث

ان هذا البحث یهدف الى استخدام نموذج الانحدار اللوجستی فی دراسة زمن البقاء للمرضى المصابین بمرض سرطان الثدی , وتحدید المتغیرات المؤثرة فی حالة المصاب.

2. التوزیع اللوجستی

على مدى 150 سنة ماضیة أو نحو ذلک، تم إجراء بحوث کبیرة فیما یتعلق بنظریة  وتطبیقات التوزیع اللوجستی. فی السابق استخدمت الدالة اللوجستیة کمنحنى لنمو من قبل Verhulst (1838, 1845). حیث تم استخدام المنحنى اللوجستی لأغراض دیموغرافیة اقتصادیة منذ نهایة القرن التاسع عشر. وقد سمیت الدالة اللوجستیة باسمها الحالی من قبل  Reed و Berkson (1929)، حیث أنهم من أول من کتب الدالة اللوجستیة.

    وقد استخدمت الدالة اللوجستیة لتقدیر نمو السکان من قبل کلٍ من: Pearl  و  Reed (1940) Pearl et al.  (1940)، Schultz (1930)، واخیرا Oliver (1982) .

     وقد استخدمت بعض تطبیقات الدوال اللوجستیة فی المشاکل البیولوجیة من قبل کلاٍ من Pearl (1940) Emmens (1941)، Wilson  و  Worcester (1943)، Berkson (1944،1951،1953)، وFinney (1947،1952)؛ وقد استخدم Plackett (1959) الدالة لوجستیة فی تحلیل بیانات البقاء على قید الحیاة، وفی سنه (1961) استخدمها فی إحصاءات الأخلاق.

    وأهم تطبیقات التوزیع اللوجستی فی المجالات الطبیة و الاجتماعیة کما فی Dyke  وPatterson (1952) Grizzle (1961) فی مجال الصحة العامة .

وأیضا یغطی کتاب Balakrishnan (1992) التوزیع اللوجستی فی العدید من الجوانب بدءا من الدراسة المرجعیة إلى التطبیقات وأحدث البحوث التی أجریت فی هذا الموضوع. ویخصص الفصل (23) من Johnson   et al.  (1995) للتوزیع اللوجستی: الدراسات التاریخیة وطرق الاستدلال والتطبیقات والتعمیم وعلاقتها بالتوزیعات الاخرى .

      ووجد أیضا (2002) Shao مقدرات دالة الأمکان الأکبر لتوزیع اللوجستی. کما قدم Zhou (2007) تقدیر المعلمات فی التوزیع اللوجستی والتوزیع اللوغارتمی اللوجستی. وکذلک قدم Asgharzadeh et al.   (2016) تقدیر التوزیع اللوجستی بنقطة وفترة یعتمد على بیانات السجل

وتأخذ دالة کثافة الاحتمال للمتغیر عشوائی X الذی یتبع توزیع اللوجستی کالتالی

                                              (1)

حیث  معلمة موقع location parameter  , و  معلمة مقیاس  scale parameterوکلاهما أکبر من الصفر. ویمکن رسم دالة کثافة الاحتمال للتوزیع اللوجستی بالطریقة التالیة

شکل 1 : دالة کثافة الاحتمال للتوزیع اللوجستی

وأیضا دالة التوزیع التراکمیه للمتغیر عشوائی X الذی یتبع التوزیع اللوجستی کالتالی

                                            (2)  

ویمکن رسم الدالة التراکمیة کالتالی

شکل 2 : الدالة التراکمیه للتوزیع اللوجستی

3. نموج الإنحدار اللوجستی

 یُستخدم تحلیل الإنحدار اللوجستی فی الدراسات الوبائیة والطبیة والذی من خلاله یتم تحدید المتغیرات المستقلة الکمیة والنوعیة التی تؤثر فی إحتمال حدوث المتغیر الناتج. عندما یتم تطبیق الإنحدار اللوجستی فلابد أن یکون متغیر النتیجة ثنائی التفسیر یحمل الترمیز 0 و 1.

 الإنحدار اللوجستی البسیط

واحد متغیر مستقل کمی أو اسمی  مثل الوزن ، الطول ، الحالة الإجتماعیة ، الجنس.

 .واحد متغیر إسمی تابع ثنائی النوع مثل وجود المرض ( نعم ، لا ) نوع الجنس ( ذکر ، أنثى ) وغیرها

الإنحدار اللوجستی المتعدد

  إثنان أو أکثر من المتغیرات المستقلة الکمیة أو الإسمیة  مثل الوزن ، الطول ، الحالة الاجتماعیة ، الجنس

 واحد متغیر إسمی تابع ثنائی النوع مثل وجود المرض ( نعم ، لا ) نوع الجنس ( ذکر ، أنثى ) وغیرها.

استخدامات الإنحدار اللوجستی

 التنبأ فی إحتمال وقوع مشاهدات الدراسة فی إحدى نواتج المتغیر التابع (متغیر النتیجة) الذی یرمز له 0 ، 1 عن طریق معرفتنا بالمتغیرات المستقلة التفسیریة ذات النوع الکمی والإسمی وذات الدلالة الإحصائیة فلو افترضنا بأن المتغیر الإسمی التابع هو وجود المرض الذی یرمز له ( 0= غیر موجود ، 1= موجود ) ونرید معرفة علاقة المتغیرات المستقلة الکمیة أو النوعیة فی إحتمال حدوث المرض من عدمة

 معادلة خط الإنحدار اللوجستی

  ,                                                 (3)

  تعنی المتغیر التابع الذی یرمز له 0 و 1  y

 تعنی الثابت وهو معامل الإنحدار اللوجستی للمتغیر التابع عندما تکون قیمة المتغیر المستقل صفر  b₀

 b_i  تعنی معامل الإنحدار اللوجستی الذی یوضح مقدار التغیر فی المتغیر التابع فی حالة التغیر بوحدة واحدة للمتغیر المستقل

تعنی المتغیر المستقل الذی یؤثرعلى المتغیر التابع x

  شروط الإنحدار اللوجستی

  أولا : یجب أن تکون العینة کبیرة وممثلة للسکان

  ثانیا : یجب أن یکون هناک علاقة ارتباط بین المتغیرات المستقلة والمتغیر التابع

4. تقدیر معلمات الإنحدار اللوجستی المتعدد

توجد عدة طرق لتقدیر معلمات الانحدار اللوجستى منها طریقة الإمکان الأکبر وطریقة المربعات الصغرى وطریقة بییز وسوف نقتصر فی هذه الدراسة على استخدام طریقة الإمکان الأعظم وطریقة بییز

4-1 طریقة الامکان الأعظم     Maximum Likelihood Method

وهی من الطرق الشائعة لتقدیر معلمات النماذج الغیر خطیة, وتعتبر أفضل من طریقة المربعات الصغری المستخدمة فی تقدیر معلمات النماذج الخطیة لانها لا تفترض قیودا کثیرة مثل الخطیة وثبات التباین, وهی تقیس الاحتمالات لعدد n  من المتغیرات المستقلة فی العینة , أی ان مضروب هذه الاحتمالات هو عبارة عن دالة الامکان (عبدالمرضی1998 م).

 تعطی دالة الامکان کالتالی

 ,                                                                                     (4)                                                                             

حیث ان              

حیث  المتغیرات المستقلة , ودالة الامکان لعدد    nمن المتغیرات هی 

                                                                                         (5)                                                                                                      

وتوزیع احتمال النجاح والفشل یتبع توزیع بیرنوللی.

4-2 التقدیر البییزی    Bayesian estimation

توماس بیز ( 1763) الذی أثبت حالة خاصة تسمى الأن بنظریة بیز. تحدث ریتشارد برینس عنها بورقة عنوانها " مقال نحو مشکلة فی عقیدة الفرص" ثم طور بیر سیمون لابلاس (1774) من نظریة بیز , تم تطویر الاستدلال البیزی بواسطة هارولد جیفیریز ( 1939 ) فی کتاب نظریة الاحتمالات و یلیه أرنلدو زیلنر ( 1971 ) أستخدم الاستدلال البیزی لتحلیل  المشاکل اقتصادیة القیاسیة محددة واختبار الفرضیات والنماذج. طبق جیمس ( 1972 ) الطرق البیزئیة و التکراریة لتحلیل المتغیرات المتعددة . دیفید و جوناثان و جونز و کیث ( 1998 ) قدموا أستخدم بایزی فی التکنولوجیا الصحیة . عمل سکوتاری ( 2010) شبکات بایزی مع حزمة بنلیر(2017 ) طبق تقدیر بیز لعدد قلیل من العینات : کشف المجتمع و المشاکل ذات صلة.

التوزیع البعدی  هو توزیع احتمالی مشروط للمعلمة  للمعلمة التوزیع البعدی  بشرط الحصول علی العینة   وهو یصف درجة اعتقادنا المختلفة للمعلمة  بعد الحصول علی العینة ویأخذ الشکل التالی

                                                       (6)

حیث  التوزیع القبلی ,  دالة الامکان.

 و التوزیع القبلی Prior distribution هو توزیع احتمالی یصف کل المعلومات والخبرات المتوفرة حول المعلمة قبل الحصول على العینة کما یصف درجة اعتقادنا فی القیم      الممکنة لهذه المعلمة بحیث  هو التوزیع الهامشی للمتغیر  ویکون أنواع التوزیع القبلی    توزیعات قبلیه غیر معلمه    Non informative prior      وتعبر  عن المعرفة القلیلة أو النادرة وتمثل الحالة التی تکون المعلومات المتوفرة لدینا حول المعلمة قبل المعاینة لا تعتبر جوهریة بالنسبة الی المعلومات المتوقع الحصول علیها من العینة.                                      

والتوزیعات القبلیة الغیر معلمة تاخذ بعض الصور کالتالی:

     1- معلومات فشر

    2- التوزیع المنتظم

         إذا کانت المعلمة    تأخذ قیما فی المدى ,∞)∞-)

1-        إذا کانت       فإن

 2- إذا کانت   فإن      

                             3- اذا کانت  فإن

  الجدول التالی یوضح التوزیعات الاحتمالیة للمتغیر العشوائی  X والتوزیعات القبلیة المرافقة لها

الجدول 1

التوزیعات القبلیة المرافقة

توزیع ذی الحدین هو توزیع القبلی لهذه المعالم, ویکون التوزیع القبلی للمعالم المجهولة هو

                                  (7)

حیث P  احتمال النجاح,( (1-p احتمال الفشل, n  عدد مرات النجاح k   عدد مرات اجراء النجاح.

5-2 أختبار معنویة معلمات النموذج

عند بناء النموذج لابد من معرفة هل جمیع المتغیرا ت الداخلة فی النموذج فاعلة فی النموذج (لها تاثیر معنوی علی المتغیر التابع) أیٍ منها لابد أن تبقی فی النموذج وأی منها سوف تحذف وهذه الاختبارات هی:

1-  اختبار (Wald Test)

2-  اختبار نسبة الامکان الاعظم (Likelihood Ratio)  

3-  اختبار الدرجة (Score Test)

وسوف نستخدم فی هذه الدراسة  اختبار Wald وهو یستخدم لاختبار معنویة تاثیر المتغیر التوضیحی علی المتغیر التابع فی النماذج الاحصائیة الغیر خطیة, ولان فی النموذج متغیر ثنائی تابع مع متغیر مستقل واح أو أکثر, ویرافق کل متغیر مستقل متغیر معلمة واحدة فقط.

ویستخدم اختبار والد لاختبار کل معلمة من معلمات المتغیرات المستقلة الداخلة فی بناء النموذج, ونقوم باختبار معنویة المعلمات کالتالی:

1-  الفروض

2-  احصاءة الاختبار

حیث ان :

   هی مقدر المعلمة ,  هی الانحراف المعیاری لمقدر المعلمة.

3-  القیمة الجدولیة للاختبار هی قیمة , الجدولیة عند درجات حریة تساوی الواحد الصحیح .

4-  قاعدة القرار: اذا کانت احصاءة الاختبار ذات دلالة احصائیة فأن ذلک یعنی رفض الفرض العدمی القائل بان فیمة معامل الإنحدار تساوی صفر, وبالتالی المتغیر المستقل Xسیکون له تاثیر فی المتغیر التابع Y. أما اذا  اذا کانت احصاءة الاختبار لیست ذات دلالة احصائیة فأن ذلک یعنی عدم رفض الفرض العدمی القائل بان فیمة معامل الإنحدار تساوی صفر, وبالتالی المتغیر المستقل  Xلیس له تاثیر فی المتغیر التابع .Y

6- العوامل المؤثرة فی سرطان الثدی

خطر الاصابة بسرطان الثدی یزداد مع العمر , و تکون المرأة عرضة  للإصابة بسرطان الثدی فی الستینیات من عمرها أعلى بما یفوق 100 مرة منها فی العشرینیات. السمنة وعدم ممارسة التمارین الریاضة, یزید الخطر لدى النساء لتعرض بسرطان الثدی .الحمل والإنجاب والارضاع الطبیعی فی سن مبکر و عدم إنجاب الاطفال یضاعف خطر بالإصابة 3 مرات . أن الرجل أقل عرضة بکثیر لخطر الاصابة بسرطان الثدی من النساء.

6-1وصف البیانات

تم الحصول علی هذه البیانات من مستشفی الزقازیق الجامعی. تم سحب عینة عشوائیة مکونة من 100 مفردة من المرضی المصابین بسرطان الثدی فی الفترة من 2015-2016م.

وقد حددت العوامل المؤثرة فی زیادة حدوث المرض وهی:

1-العمر(Age)

2- الجنس(Gender) وتم التصنیف علی اساس

 1: للذکر(Male) -2: للأثنی (Female)

3-  الحالة الاجتماعیة (Social Status)

1: متزوج(Married)-2:مطلق(Divorced)-3: أرمل (Wideo)

4- الرضاعة الطبیعة

أ.تمت الرضاعة الطبیعیه ب.لم تتم الرضاعة الطبیعیه.

5- السمنة (obesity)

1: نحیف – 2 :مثالی – 3: مثالی جدا – 4: بدین – 5: بدین جدا

أما المتغیر المعتمد أو متغیر الاستجابة ویمثل حالة المصاب أو غیر مصاب أعطیت القیمة (1) فی حالة المصاب والقیمة (0) فی حالة الغیر مصاب.

6-2 التحلیل الاحصائی

تم تحلیل البیانات باستخدام برنامج SPSS من خلال خطوات متعددة

1-   اختبار معنویة المتغیرات بتطبیق اختبار والد  حیث اعطی النتائج التالیة

جدول 2

 اختبار معنویة العوامل المؤثرة فی النموذج اللوجستی

یتضح من الجدول 2 ان جمیع المتغیرات الداخلة فی بناء النموذج معنویة لان قیمة p-value  أقل من 0.05

جدول 3

العلاقة بین السمنة والاصابة بالسرطان

نلاحظ من جدول 3 وجود علاقة قویة بین السمنة والاصابة بالسرطان کلما کان الشخص بدین کانت فرصة الاصابة بالسرطان أکبر.

جدول 4

العلاقة بین العمر والاصابة بالسرطان

نلاحظ من جدول (4) العلاقة بین العمر والاصابة ان کلما کبر الشخص فی العمر کلما قلت الاصابة بالسرطان.

جدول 5

العلاقة بین الرضاعة الطبیعیة والاصابة بالسرطان

نلاحظ من جدول 5 أن الاشخاص الذین لا یقومون بالرضاعة الطبیعیة أکثر عرضة بالاصابة بسرطان الثدی .

                                        الجدول 6

العلاقة بین الجنس والاصابة بالسرطان

نلاحظ من جدول 6 أن الأناث اکثر عرضة للاصابة بمرض سرطان الثدی من الذکور.

التحلیل البییزی

خطوات التحلیل الاحصائی للنموذج البیزی اللوجستی:

تم تحلیل البیانات العینة باستخدام برنامج Winbugs 14  کالتالی:

1-            إدخال بیانات الخاصة لسرطان الثدی لعدد 100 شخص

2-            الحصول على مقدر الامکان الأکبر

3-            تحدید التوزیع القبلی المتوافق لهذه البیانات وتم تحدید توزیع ذی الحدین.

4-            تم تحدد ثلاث قیم مبدأیه لحل النموذج وهی  ( 0,1,0,0,0)  , (0.1,0.1,0.1,0.1,0.1 ,.(0.15,0.15,0.15,0.15,0.15)

5-            تم عمل تکرار (300000)  لهذه التجربة للتأکد من ثبات النتائج.

الجدول 7

خصائص مقدرات العوامل المؤثرة فی الاصابة بسرطان الثدی ویوضح جدول 7 mean, standard error, MC error حیث یوضح الفرق بین مقدر التوزیع البعدی ومقدر باستخدام دالة الامکان.

الجدول 8 یبین Quantiles  للمقدرات

ولتوضیح ثبات تحلیل البیانات الخاصة بمریض سرطان الثدی تم رسم دوال کثافة الاحتمال للتوزیع البعدی کالتالی: شکل 7 یوضح دالة کثافة الاحتمال للتوزیع البعدی. ویلاحظ ان التوزیع

البعدی لجمیع المقدرات تتبع توزیعًا طبیعیًا

ولتوضیح ثبات تتابع البیانات الخاصة لمریض سرطان الثدی تم استنتاج مقیاس للتقارب ثبات هو Gelman Rubin   حیث یکون استنتاج  النتائج مبنی علی ان تکون السلاسل الزمنیة تکاد تصل الی الواحد الصحیح وهذا ما یوضحه الشکل التالی:

شکل8 یوضح مقیاس التقارب بین القیم المبدئیة للحل,ونجد انها تکاد

تقترب من الواحد الصحیح

الشکل التالی یوضح الربیع الاول , الربیع الثانی, الربیع الثالث

  شکل 9 توضح دوال الربیعات لـمقدرات العوامل المؤثرة على مریض سرطان الثدی

الشکل التالی یوضح معاملات الارتباط بین معاملات العوامل المؤثرة فی مرضی السرطان

شکل 10 : یوضح مدى الارتباط بین العوامل المؤثرة على المریض

الشکل التالی یوضح مدی تقارب مقدرات فی مرضی سرطان الثدی

شکل11 یوضح مدى تقارب مقدرات العوامل المؤثرة

نتائج الدراسة

من أهم الاستنتجات التی حصلنا علیها من خلال دراسة تاثیر العمر والجنس والسمنة والرضاعة الطبیعیة والحالة الاجتماعیة لعینة محل الدراسة هی:

1-            عدد المصابین الاناث بمرض سرطان الثدی أکبر من فرصة إصابة الرجل 

2-            وجود علاقة قویة بین السمنة ومرض السرطان کلما کان الشخص بدین کانت فرصة الإصابة بمرض السرطان أکبر .

3-             وجود علاقة عکسیة بین فرصة الإصابة بالمرض والعمر بمعنی أن فرصة الإصابة للعمر 39 أکبر من العمر 79 کلما کبر الشخص قلت فرصة إصابة بمرض السرطان الثدی.

4-            فرصة الإصابة بسرطان الثدی أکبر لدى الأشخاص الذین لایقومون بالرضاعة الطبیعیة.

5-            المتزوجین هم أکثر عرضة للإصابة بالسرطان ثم الأرامل ثم المطلقین

.

          وتم تأکید هذه النتائج أیضا من خلال ادماج المعلومات القبلیة مع المعلومات الحالیة من خلال استخدام برنامج Winbugs 14 لتقدیر نموذج  الإنحدار البییزی اللوجستی.

التوصیات

1-            یمکن التوصیة بتحری الدقة فی تسجیل البیانات, من خلال وضع برامج احصائیة متخصصة ومتقدمة فی کل مستشفى.

2-            یمکن التوصیة بإجراء دراسات مماثلة لأنواع مختلفة من الأورام, ومعرفة العوامل المؤثرة علی کل نوع من هذه الأورام.

3-            یمکن التوصیة بإضافة متغیرات أخری الی هذه الدراسة مثل جینات الوراثة, نوع الأغذیة , المنطقة التی یسکن بها المریض, عدد مرات الإنجاب.

References

         Asgharzadeh,A. Valiollahi,R. And Abdi,M.(2016). Point and

          interval estimation for the logistic distribution based on record

         data, P.89-112.

         Balakrishnan, N.(Ed.) (1992). Handbook of the logistic

          distribution.Marcel Dekker, New York.

         Balakrishnan, N. and Chan,P.S. (1992). Estimation for the

          scaled half-logistic distribution under Type II censoring.

          Computational Statistics and Data Analysis,Vol.13, pp.123-141.

         Grizzle, J. E.(1961). A new method of testing hypotheses and

         estimating parameters for the logistic model, Biometrics,

         Vol.17, pp.372-385.                    

         Johnson, N.L., Kotz ,S. and Balakrishnan, N.(1995). Continuous

          univariate distributions,Vol.2, 2^nd ed., John Wiley, New York.

         Oliver, F.R.(1982). Notes on the logistic curve for human

         populations.  J. Roy. Statist. Soc., A,Vol.145, pp. 359-363.

         Plackett, R. L. (1959). The analysis of life test data.          Technometrics,Vol.1, pp.9-19.

         Shao, Q. (2002). maximum likelihood estimation for generalized          logistic distribution, Communication in Statistics, Theory and          Methods, V.31, pp.1687-1700.

         Zhou,Y. (2007). Estimation of parameters in logistic and log-

         logistic distribution with grouped data, US National Library of

           Medicine, pp.9-421.

Bayes.T. (1763). An Essay towards solving a problem in the Doctrine of chances, pp. 370-481.

Stephen. M. (1986).The history of statistic, Harvard  University.

Jayens .E.T.(2003). Probability theory: the logic of science, Cambridge University.

 Zellner, A. (1971). An Introduction to Bayesian Inference in

Scutari M. (2010): Learning Bayesian Networks with the bnlearn R Package. Journal of Statistical Software??

Horny, M.(2014). Bayseian Networks, Boston University.

          Hopkin, S.B. and Teurer.(2017). Bayesian estimation from few

          samples: community detection and related problems, Computer

          Science, pp.1-76.

المراجع باللغة العربیة

-عزام وعبد المرضی (1998) م: التحلیل الاحصائی للمتغیرات المتعددة, دار المریخ للطباعة والنشر, الریاض.

- التحلیل الاحصائی للمتغیرات المتعددة دار المریخ للطباعة والنشر الریاض.